Робота з МАН

Міністерство освіти і науки України

Департамент освіти і науки Кіровоградської облдержадміністрації

Кіровоградська Мала академія наук учнівської молоді

Гайворонська філія Кіровоградської Малої академії наук учнівської молоді

Відділення: фізико-математичне

Секція математики

                                                                                                                                 

                                     

Подільність чисел

Роботу виконала:

Левицька Наталя Ігорівна,

учениця 9 класу

загальноосвітньої школи

І-ІІІ  ступенів  смт. Завалля

Гайворонського району

Кіровоградської області

Науковий керівник:

Споран Віталій Васильович

вчитель математики загальноосвітньої

школи  І-ІІІ  ступенів смт. Завалля

Гайворонського району

Кіровоградської області

Завалля – 2016

ТЕЗИ

до науково-дослідницької роботи

«ПОДІЛЬНІСТЬ ЧИСЕЛ»

учениці 9 класу загальноосвітньої школи І-ІІІ ст. смт Завалля

Гайворонського району Кіровоградської області

Левицької Наталії Ігорівни

Кіровоградське територіальне відділення Малої академії наук учнівської молоді

Гайворонська філія Малої академії наук учнівської молоді.

Науковий керівник: Споран Віталій Васильович, вчитель математики загальноосвітньої школи  І-ІІІ  ступенів смт. Завалля Гайворонського району Кіровоградської області

Свою роботу я присвятила вивченню подільності чисел та розв’язанню задач, які опрацьовуються учням на уроках математики з цієї теми, при виконанні контрольних робіт та олімпіад. Під час написання роботи я використала матеріали математиків, які, користуючись працями Ератосфена, Евкліда, Безу, намагалися знайти різні шляхи розв’язання задач та встановлювали певні закономірності при виведенні суджень та теорем.

Подільність чисел важливе поняття в математиці. Якщо поглибитись у дослідження різних учених та їх доведення – то ми дізнаємося багато нового, чого нам ніколи не розповідали у п`ятих класах.

Актуальність теми пояснюється в поширені доведення та приклади, методи та галузі застосування подільності чисел, а також особливостей простих та складених чисел. Також ми можемо дізнатись про різноманітні роботи та доведення різних учених щодо чисел, їх використання та особливості, різні подільності.

Результати проведених досліджень даної роботи такі: досліджено історію подільності чисел, встановлено основні теореми та ознаки подільності чисел, розв'язано задачі різних рівнів, розв’язано задачі за допомогою НСД та НСК, задачі за допомогою розкладання чисел на решето Ератосфена та теореми Безу.

ЗМІСТ

ВСТУП……………………………………………………………………………....4

РОЗДІЛ 1. ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА

1.1.             Історія подільності чисел…………………………………………………6

РОЗДІЛ 2. Практична частина

   2.1.  Розв’язування задач за допомогою НСД та НСК………………………..12

   2.2. Задачі із використанням решета Ератосфена…………………………….14

   2.3. Задачі з використання теореми Безу……………………………………....16

ВИСНОВКИ……………………………………………………………………….20

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ………………………………………...21

ВСТУП

Дана робота присвячена вивченню подільності чисел та розв’язанню олімпіадних завдань з теми.

Говорячи про важливу роль теорії подільності чисел в математичному вихованні, А.І. Маркушевич зауважив, що ця теорія є одним з небагатьох розділів математичної науки в (даному випадку теорія чисел), з яким можна без будь-яких скорочень і пропусків, зі всіма необхідними кінцевими визначеннями і доведеннями ознайомити учнів. Цей розділ – логічно стрункий і завершений, розвертаючись ланцюжком невеликої кількості достатньо простих теорем, дає можливість підвести учнів до розуміння теореми Евкліда про існування як завгодно великих простих чисел, алгоритму Ератосфена побудови таблиці простих чисел, алгоритму Евкліда для відшукання найбільшого спільного дільника і застосування цих знань до розв’язування в цілих числах лінійних рівнянь, і нарешті, до розуміння теореми про єдність розкладу цілого числа на прості множники. Вказані твердження і методи є фундаментом теорії чисел і в той же ж самий час є найпростішими доступними учню прикладами теорем існування і єдності і прикладами найпростіших алгоритмів без чого немислимо створити правильне уявлення про математичну науку.

Розв`язання задач, а саме облегшені способи, ще здавна цікавили людей. Певно таким чином і з`явились подільності чисел та дільники. Саме завдяки цьому поняттю люди змогли дізнаватись чи ділиться число націло, кількість простих дільників.

 Ця проблема була поширена в найбільш науково розвиненій країні – Древній Греції. А саму проблему зачепив добре відомий математик, автор перших теоретичних трактатів в галузі цієї ж науки – Евклід. Своїм дослідженням грецький учений полегшив обрахунки в задачах з використанням  подільності чисел. Цим же він дав поштовх іншим до виведення різноманітних теорем, алгоритмів знаходження тих чи інших елементів. І все таки можна впевнено сказати, що усі теперішні доведення, теореми, як наприклад Безу основані на попередніх висновках Евкліда. Також можна сказати, що машини для обрахунків, як найпростіші так і більш складні, використовують у своїх програмах також алгоритми дій, які в свою чергу виведені з роботи грецького математика.

Питання полегшених  та швидших дій було і залишається актуальним та поширеним. Саме через це я і обрала цю тему. Подільність чисел поширена у нашому житті, ми її часто не помічаємо в побуті, але в звичних нам машинах для обрахунків вона є, а також напрочуд часто використовується нами – людьми. Але ми використовуємо такі полегшені розв`язання не лише в задачах на уроках, обрахунках на спеціальних машинах. Не усі, але люди використовують алгоритми знаходження дільників чи множників при створенні новітніх, сучасних машин для більш швидших та точних обрахунків, які могли б ще більш облегшити нам життя, пришвидшити та збільшити потужність людської діяльності. Саме зважаючи на ці чинники, що стосуються і минулих, давніх часів, а також і нашого часу і новітніх технологій, я вважаю подільність чисел важливою деталлю, а роботу Евкліда про подільність чисел – важливим поштовхом для поколінь, а особливо їх розвитку.

Основними методами дослідження є:

·     теоретичний аналіз психолого-педагогічної, навчально-методичної та науково-дослідної літератури з проблеми дослідження;

·     пошуковий;

·     аналітичний;

·     практичний;

Значущість роботи полягає у розв’язанні системи задач та прикладів при підготовці до відповідних уроків, самостійних робіт або при підготовці до олімпіад.

Об’єктом дослідження даної роботи є задачі з теми «Подільність чисел».

Предметом дослідження є: основні ознаки подільності, НСД і НСК та алгоритми їх знаходження, теорема Безу, алгоритм Ератосфена.

Мета дослідження полягає у розв’язанні завдань «Подільність чисел».

Для досягнення мети необхідно:

ü на основі аналізу науково-методичної літератури та педагогічного досвіду виявити основна особливості теми «Подільність чисел»;

ü вивчити історію розвитку подільності чисел;

ü визначити найкращі методи та методики розв’язання задач з теми;

ü розв’язати задачі з теми, які використовуються на уроках математики, самостійних роботах та на олімпіадах.

Теоретичне та практичне значення роботи: вивчення особливостей подібності чисел, а також  розв’язання завдань з даної теми, підготовка до контрольних робіт та олімпіад.

Структура дослідження визначається його метою та завданнями. Робота складається з тез, вступу, двох розділів, висновків та списку використаних джерел.

РОЗДІЛ 1

ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА

1.1.                  Історія розвитку подільності.

Протягом більше 25 століть задачі теорії чисел були улюбленою областю дослідження визначних математиків і багатьох тисяч дилетантів. В теорії чисел значне місце відводиться теорії подільності цілих чисел, зокрема цілих додатних натуральних чисел, висновки і результати вивчення якої поширюються і на цілі від’ємні числа.

Ще в Стародавній Греції, в так званій піфагорійській школі (6 ст. до н.е.), вивчалась подільність цілих чисел. Були відокремлені окремі підкласи цілих чисел, як наприклад, прості числа, складені, квадратні і тому подібні; вивчалася структура так званих досконалих (число а, рівне сумі своїх істинних дільників, тобто натуральних дільників, відмінних від самого а, називається досконалим) і дружніх чисел (якщо для двох чисел а і b сума істинних дільників кожного з них дорівнює іншому, то такі числа називаються дружніми). Було дано розвиток у цілих числах невизначеного рівняння  (іншими словами, був вказаний рецепт побудови прямокутних трикутників з цілочисельними сторонами).

Евклід у своїх «Началах» чи «Елементах» дав систематичну побудову теорії подільності. Він вперше запропонував теорему про однозначність розкладу натурального числа на прості множники, яка відіграє основну роль у теорії подільності цілих чисел, і з її допомогою побудував арифметику раціональних чисел. Евкліду були відомі чотири досконалі числа: 6,28,496,8128. Він довів теорему, що N=  є досконалим, якщо  є простим.

Математики приділяють багато уваги простим числам. Були спроби дізнатися по зовнішньому вигляду просте чи складене це число, а далі вже розглядалась і їх подільність.[12, c.17]

Які ж підстави для того, щоб так цікавитись ним?

Насамперед це тому, що будь-яке натуральне число А можна подати у вигляді: , де  прості числа,  – натуральні числа.

Для кожного числа таке подання єдине. Це твердження називається основною теоремою арифметики.

Прості числа можна назвати «елементарними цеглинами», з яких «будуються» інші числа.

Розглянемо деякі проблеми, що стосуються простих чисел.

Ще у 3 ст. до н.е. видатний давньогрецький учений Евклід довів, що простих чисел безліч. Інший давньогрецький учений Ератосфен винайшов спосіб, користуючись яким можна знаходити прості числа.

Цей спосіб назвали «решето Ератосфена» турбує запитання: чи існує загальна формула для знаходження усіх простих чисел? Остаточної відповіді вчені ще не мають. Але цікаві пошуки в цьому напрямі велися, і варто назвати прізвища математиків, які займалися даною проблемою.

Великий французький учений Марен Мерсенн (1588–1648) цікавився числами виду: . Прості числа, які можна знайти за допомогою цієї формули, називаються числами Мерсенна. Наприклад, такими числами є 3,7,31,127… Проте для n=11 маємо:  – складне число, тобто формула Мерсенна описує не тільки прості, а й складні числа. Леонардо Ейлеру (1707–1783) вдалося довести, що числу - просте.

У 1852 р. Пафнутій Чебишов (1821–1894) довів, що для будь-якого натурального числа n>3 між числами n і 2n-2 завжди міститься просте число.

Наприклад, між числами n=11, 2n-2=20 знаходяться такі прості числа: 13,17,19.[12, c.18- 20] Отже, можна зробити висновок, що історія подільності чисел довга і багатогранна, відома різними іменами та ідеями. Я вважаю, що занурившись в саму історію, можна знайти багато цікавого та корисного для сьогодення, а саме, обираючи найкращі методи розв’язання задач даної теми.

РОЗДІЛ 2

ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА

2.1.         Розв’язування задач за допомогою НСД та НСК.

Щоб краще зрозуміти поняття подільності чисел, НСД та НСК, алгоритми їх знаходження, потрібно розглянути докладні приклади, які будуть певною мірою стосуватись нашого життя.

Як раніше сказано, подільність чисел використовується переважно в задачах, найчастіше в олімпіадних. А таке поняття як НСД поширене в криптографії, та використовується при застосуванні алгоритму Евкліда. А в основі алгоритму знаходження НСД лежить саме подільність чисел. Тож можна сказати, що в якихось галузях це поняття також є поширеним, а не лише в математиці. Є також задачі, умова яких може стосуватись певних життєвих ситуацій.

Тож саме через це, через певним чином виражену актуальність, хочу запропонувати до вашої уваги задачі на подільність чисел, знаходження найбільшого спільного дільника та найменшого спільного кратного.

Задача1.

У коробці знаходиться не більше 50 цукерок. Їх кількість можна розділити між двома або трьома дітьми, але не можна із чотирма. Яка найбільш можлива кількість цукерок може бути у коробці?

Варіанти відповіді:  а)50;  б)48;  в)42;  г)44.[20, c. 8]

Розв`язання.

Оскільки кількість цукерок ділиться на два та три, можна визначити, що саме такою є умова подільності на 6. Цей крок певною мірою облегшив нам роботу. Тепер ми визначаємо із даних чисел такі, що діляться на 6. Тобто 48 та 42. Таким чином виявляється, що є два числа, але в умові задачі додано, що число не може ділитись на 4. А 48 націло ділиться на 4.

Відповідь: в)24.

Задача 2.

Будівельна компанія закупила для нового будинку металопластикові вікна та двері у відношенні 1:4. Укажіть число, яким виражається загальна кількість закуплених вікон та дверей.

Варіанти відповіді:  а)41;  б)45;  в)68;  г)79.[5, c.20]

Розв`язання.

Логічно оцінивши, що відношення 1:4, являє собою одні двері та чоти вікна на квартиру. Так, як завданням задачі являється обрахунок загальної суми дверей та вікон, ми повинні визначити кількість «покупок» на одну квартиру, тобто 1+4. 1+4=5. Тож ми повинні із варіантів відповідей вибрати число кратне отриманій сумі. Число 45 націло ділиться на 5.[5, c.21]

Відповідь: б)45

Задача 3.

Яку цифру потрібно поставити замість * у числі 2345*, щоб воно ділилось на 3 без остачі?

Варіанти відповіді:  а)0;  б)2;  в)4;  г)5.[9, c.219]

Розв`язання.

В даній задачі ми повинні діяти виключно за ознакою подільності на 3. В ознаці вказано, що число ділиться на 3 тоді, коли сума цифр, що утворюють це число, ділиться на 3. Оскільки 2+3+4+5=14, а 14 не ділиться на 3, ми повинні обрати із варіантів число, додавши до суми яке, ми отримаємо число, що ділиться на 3. Таким числом являється 4. Адже 14+4=16, а 16 ділиться на 3. Тож число 23454 ділиться на 3 і вірним рішенням задачі.

Відповідь: в)4.

Від легких задач на подільність перейдімо до задач на обчислення НСД.

Задача1.

Із 45 троянд та 30 жоржин учні 6-го класу складали букети, так щоб у кожному букеті троянд і жоржин було порівну. Яку найбільшу кількість букетів можна скласти?[9, c.221]

Розв`язання.

Для того, щоб знайти розв`язок даної задачі, ми повинні всього лиш дізнатись НСД для чисел 45 і 30.найбільшим спільним дільником 45 і 30 є число 15, тобто НСД (45;30)= 15.

Відповідь: із квітів можна скласти 15 букетів.

Задача2.

1071	1029
1029	42
42	21
21	2
21

Перед Різдвом усі жінки родини напекли печива для колядників. На свято було виготовлено 1071 з маком та 1029 фруктових печив. Усім дітям роздавали однакову кількість пряників, кількість печива з маком та фруктових вручалась дітлахам рівною. На скількох колядників вистачить така кількість печива?[15, c. 20]

Розв`язання.

Для знаходження відповіді, знаходимо НСД (1017; 1029).

1071:1029=42; 1029:42=21; 42:21=2

НСД (1071; 1029)=21.

Відповідь: усієї кількості печива, за поданою умовою, вистачить на 21 дитину.

Останнім пунктом, точніше останніми задачами є задачі на знаходження НСК чисел. Вони є трохи важчими ніж попередні, адже поєднують у собі алгоритми і знаходження подільності, і визначення НСД, а також математичні дії. Більшість задач на визначення НСК чисел, в  умові вимагають визначення також НСД, або завдання може  бути таким: знайти НСК та НСД чисел. Тож перейдемо до самих задач.

Задача1.

Знайдіть : НСД(a, b) та НСК (a, b), якщо дано розклад a іb на прості множники: a=2*3*5², b=3²*5.[15. C. 21]

Дану задачу можна розв`язати двома способами. Можна за допомогою множників дізнатись числа, вирахувати НСД, а потім НСК. Або за дільниками знайти НСК, та за третьою властивістю вивести невеличке рівняння та обрахувати НСД.

Розв`язання.

150	45
45	3
15	0

I.  a =2*3*5²=150; b=3²*5=45; НСД (150;45)=15; НСК (150;45)= 150*45:НСД (150;45)=150*45:15=450

II. a =2*3*5²=150;   НСК(150; 45)= 2*3²*5²=450

b=2º*3²*5=45;

Відповідь: НСД(a, b)=15, НСК (a, b)=450.

2.2.         Задачі із використанням решета Ератосфена.

Решето Ератосфена є не дуже поширеним в нашому житті. Його використання можна найчастіше спостерігати в математичних задачах. Задачі є дуже простими та дещо дитячими. Це зумовлено тим, що сам алгоритм знаходження простих чисел методом Ератосфена є напрочуд простим, а також вивчається ще в 6-ому класі.

Задач, які є певною мірою складною, не існує. Такі практичні завдання навіть можна назвати завданнями, а не задачами, адже більшість із них не мають умови. Частіше всього, такі завдання мають лише завдання чи вказівки до цього виконання.

Одним із таких практичних завдань є таке:

Задача1.

Визначте усі прості числа за допомогою решета Ератосфена, якщо п= 110; п=150.[18, c. 4]

Ця задача не має певної умови, вимірі тощо. Лише вказано завдання. Більшість таких «задач» мають подібну умову. Тож виконаємо завдання запропонованої задачі, а саме перше частину (п=108).

Розв’язання.

Якщо п= 110, то виписуємо усі числа від 1 до 110. Буде легше, якщо ми побудуємо таблицю для запису чисел. В одній стрічці – 10 лунок. Саме таким чином нам буде зручніше, адже 110 націло ділиться на 10. Саме в такому записі ми можемо не задумуючись викреслювати числа із кожної другої колонки, а також колонку під числом 5.

01	02	03	04	05	06	07	08	09	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	46	48	49
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
91	92	93	94	95	96	97	98	99	100
101	102	103	104	105	106	107	108	109	110

Усі дії виконано за алгоритмом вказаним в попередньому пункті. Таким чином виведено ряд простих чисел менших за п (п= 110).

Відповідь: простими числами меншими за 110 є числа: 02, 03, 05, 07, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 51, 53, 59, 61, 79, 83, 87, 89, 97, 101, 103, 107, 109.

Але все-таки існують задачі, що мають умову та стосуються решета Ератосфена. Дві із таких я хочу вам запропонувати до перегляду.

Задача2.

Два простих числа називаються «близнюками», якщо вони відрізняються на два. Знайдіть усі прості числа «близнюки» при п=45.[16, c.3]

Розв’язання.

Число 45 не є надто великим, тож записуємо усі числа від 1 до 45 просто в рядок: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45. Виконуємо усе за алгоритмом решета Ератосфена та виводимо ряд чисел, що залишились - простих чисел. Залишається: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43. Вибираємо із ряду числа «близнюки», тобто числа які відрізняються на два. Виходить, що 2 менше за 3 лише на 1, а ось 3 за 5 менше на 2. Тож числа 3 і 5 є близнюками. 5 менше за 7 також на 2, тож дана пара, 5 і 7, підходить під умову задачі. Між 7 і 11 різниця 4, отже пара не підходить, а числа 11 та 13 навпаки. Адже різниця між ними рівна двом. 13 та 17 теж не відносяться до числа «близнюків», а числа 17 і 19 відносяться. Числа 19 та 23 навпаки, так само як і наступна пара 23 і 29. Але пара чисел 29 і 31 є «близнюками», а 31 та 37 – ні. І останньою парою, так званих, «близнюків» є два останніх простих числа ряду: 41 та 43.

Відповідь: простими числами «близнюками» меншими за п=45 є пари чисел: 3 і 5; 5 і 7; 11 і 13; 17 і 29; 29 і 31; 41 і 43.

Заача3.

Дано парне число п>2. Перевірити для нього гіпотезу Гольдбаха. Яка полягає в тому, що кожне парне число п>2 можна представити у вигляді суми двох простих чисел.[16, c.3]

Обираємо за число п число 20. Воно підходить по умові задачі, адже 20>2, а також є парним числом.

Розв’язання.

Записуємо в ряд усі числа від 1 до 20: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. Виконуємо дії та виводимо ряд простих чисел, використавши актуальний метод решето Ератосфена. І маємо ряд чисел :2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Оглянувши отримані числа з’ясовується що числа 17 та 3 в сумі отримують 20, аналогічним є варіант при 13 та 7.

Відповідь: гіпотезу Гольдбаха доведено на прикладі; при п=20 числами, що  в сумі рівні двадцяти є: 13 і7, 17 і 3.

2.3.         Задачі з використанням теореми Безу.

Задачі з використанням теореми Безу – це, чи не єдині, способи використання даної теореми. Адже, як уже раніше сказано, це визначення використовуєтьсь здебільшого в алгебрі, а отже в задачах.

Основними завданнями задач є знайдення залиш при діленні, або визначити, чи ділиться без остачі многочлен на двочлен. В таких, чи просто подібних задачах, на сам перед потрібно виконати дії, тобто поділити многочлен на двочлен, використовуючи найлегший спосіб, тобто теорему Безу. Після чого уже визначити, чи ділиться націло, чи може, залишає остачу, вказати її.

Щоб краще зрозуміти про що іде мова та побачити усе докладно на прикладі, я хочу запропонувати вам дві задачі із такими умовами (типовими умовами, що наведені вище).

Вони допоможуть нам краще розібратись в даному питанні та поставленій перед нами темі. Адже можна вивчити та зазубрити, зрозуміти не вірно, а можна вивчити теорію та переглянути виконане практичне завдання та побачити усі дії та алгоритм їх виконання в дії. Таким чином ми навчаємось, а також зможемо в подальшому виконувати подібні завдання самостійно.

Тож перейдемо до практичних завдань. Перша задача є дуже простою та має в собі напрочуд малу кількість дій. Подібні задачі вимагають лише пояснення та однієї, чи двох дій. Також задачі із такою умовою є дуже поширеними, і вони можуть спроектувати в нашому баченні точний алгоритм виконання. Задачі цього типу схожі умовою, в них відрізняються лише числа. Саме таким чином. Розв’язавши одну задачу, на її прикладі ми можемо з легкістю виконати й іншу.

Тож перейдемо від пояснень та передмов до самого завдання.

Задача 1.

Знайдіть остачу від ділення многочлена  f(х)=3х² -4х +6 на двочлен(х -1).[6,c. 6]

Розв’язання.

Згідно з теоремою Безу шукана остача рівна значенню многочлена в точці а=1. Тоді знаходимо f (х), для цього значення а=1 підставляємо в вираз для многочлена f(х) замість х.В такому випадку будемо мати вираз такого вигляду: f(1)=3*1²-4*1+6=3-4+6=5

Відповідь: остача від ділення f(х)=3х² -4х +6 на (х -1) дорівнює 5.

В даній задачі використано метод підстановки чисел та теорему Безу.

Задача2.[6, c.7]

Визначте чи ділиться многочлен 2х²-3х²+4х+9 на двочлен х+1 без остачі.

Розв’язання.

Знайдемо остачу від ділення многочлена 2х²-3х²+4х+9 на двочлен х+1. За теоремою Безу  остача буде дорівнювати f(-1), так як заданий двочлен можна представити у вигляді х=1=х-(-1). Знаходимо значення f(-1) многочлена в точці

х=(-1).

f(-1)=2*(-1)³-3*(-1)²+4*(-1)+0=-2-3-4+9=0

Остача рівна нулю тож і многочлен 2х²-3х²+4х+9 ділиться на двочлен х+1 без остачі.

Відповідь: доведено, що многочлен 2х²-3х²+4х+9 ділиться на двочлен х+1 без остачі, остача дорівнює нулю.

Такі задачі використовуються на уроках з математики в старших класах, а також на олімпіадах з математики. Тож, якщо ви хочете мати великий рівень знань, ви повинні вивчати цю тему, особливо учні 10-11 класів.

Наступною хочу представити вам задачу, умова якої не вказана у вступному слові до розділу. Вона не є особливою та не має великих обрахунків. Дана задача є такою ж легкою, як і попередні. Для розв’язку ми повинні лише обґрунтувати свої дії, тобто записати пояснення, а також виконати малу кількість легких дій (2-4 дії).

Задача3.

При якому значенні а многочлен  х⁴+ах³+3х²-4х-4 ділиться без остачі на двочлен х-2?[7, c.37]

Розв’язання.

За теоремою Безу R= f(2)=16+8a+12-8-4=8a+16 (R – остача). Але за умовою задачі  R=0,  отже 8a+16=0, таким чином а= -2.

Відповідь:многочлен  х⁴+ах³+3х²-4х-4 ділиться без остачі на двочлен х-2 при

 а= -2.

Задача вказана вище, дуже нагадує своїм виглядом рівняння. Ми просто, мов в лінійному рівнянні записали відомі, урівняли до потрібного нам числа (до 0), та виконали дії, в результаті отримали потрібне нам невідоме.

Задача4. [7, c. 39]

При яких значеннях a і b многочлен x⁴+ax³–9x²+11x+b ділиться без залишку на тричлен x²–2x+1?

Розв’язання.

Уявімо дільник так: x² – 2x + 1 = (x – 1)²

Даний многочлен ділиться на x–1 без залишку, якщо за теоремою Безу:

R₁=f(1)=1+a–9+11+b=a+b+3=0.

Знайдемо остачу від ділення цього многочлена на x–1:

 x⁴+ ax³–9x+11x–a–3x–1

x⁴–x³x³+ (a+1) x2+ (a–8) x+ (a+3)

(a+1)x³–9x²

(a+1)x³–(a + 1)x²

(a–8)x²+11x

(a–8)x2–(a–8)x

(a+3)x–a–3

0

x³+(a+1)x²+(a–8)x+(a+3) ділиться на (x–1) без залишку, звідки

R₂=f(1)=1+(a+1)1+(a–8)1+a+3=3a–3=0.

Вирішу систему рівнянь:

a + b + 3 = 0 a + b =-3

3a – 3 = 0 a = 1

З системи: a=1, b=-4

Відповідь: a=1, b=-4.

на множники многочлен f(x)=x⁴+4x²–5.

Серед дільників вільного члена число 1 є коренем даного многочлена f(x), а це означає, що по слідству 2 з теореми Безу f(x) ділиться на (x–1) без залишку:

f(x)/(x–1)=x³+x²+5x+5, отже f(x)=(x–1)(x³+x²+5x+5).

Серед дільників вільного члена многочлена x³+x²+5x+5 x=-1 є його коренем, а це значить,що по слідству 2 з теореми Безу x³+x²+5x+5 ділиться на (x+1) без залишку:

x⁴+4x²–5 x–1

x³+x²+5x+5 x+1

x⁴–x³ x³+x²+5x+5 x³+x² x² +5

x³+4x²

5x+5

x³–x² 5x+5

5x²–5

5x²–5x

5x–5

0

(x³+x²+5x+5)/(x+1)=x²+5, значить x³+x²+5x+5=(x+1)(x²+5).

Звідси f(x)=(x–1)(x+1)(x²+5).

7 (x²+5) на множники не розкладається, тож дійсних коренів не має, тому f(x) далі на множники не розкладається.

Відповідь: x⁴+4x²–5=(x–1)(x+1)(x²+5).

Задача5.

Розкласти на множники многочлен f(x)=x⁴+324.

Розв’язання.

f(x) коренів не має, x⁴ не може дорівнювати -324, значить, по слідству 7 f(x) на множники не розкладається.

Відповідь: многочлен на множники не розкладається.

Задача6.

Розв’язати рівняння x⁴+3x³-13x²-9x+30=0

Розв’язання.

(x-2)(x³+5x²-3x-15)=0

(x-2)(x+5)(x²-3)=0

x⁴+3x³-13x²-9x+30x-2

x⁴-2x³ x³+5x²-3x-15

5x³-13x²

5x³-10x²

-3x²-9x

-3x²+6x

-15x+30

0

Відповідь: x₁=2, x₂=-5

ВИСНОВКИ

В ході написання  дослідницької роботи була проглянуто достатня кількість літературних джерел з метою ознайомлення з теорією подільності чисел та з метою розв’язання завдань та задач на подільність чисел при виконанні та підготовці до самостійних робіт з математики по даній темі, а також при підготовці до олімпіад з математики де подаються завдання на подільність.

Відомо, що нестандартні задачі розширюють уявлення школярів про різноманітні ідеї, методи, які забезпечують їх розв’язування. Саме тому. задачі, які було розв’язано в дослідницькій роботі показали сприйняття цього самого матеріалу та довели ефективність підготовки до самостійних робіт та олімпіад.

Виконання даної роботи допомогло мені обґрунтування певні гіпотез, шукати та відсіювати неправильні припущення, будувати фрагментарні теоретичні узагальнення, сприяючи у такий спосіб формуванню у мене творчого, евристичного мислення, а також прагнення до дослідницької діяльності.

Задачі такого типу приваблюють юних математиків. Їхні умови часто зрозумілі навіть учням молодших класів, проте розв’язування цих задач потребує глибоких знань та винахідливості. Їх пропонують майже на кожній олімпіаді юних математиків.

Тема «Подільність чисел» є цікавою для учнів і однією з таких тем, за допомогою яких можна зацікавити учнів навчанням і математикою зокрема.

Застосування ознак подільності полегшують обчислення.

Властивості подільності широко використовуються істориками (при знаходженні дат, зазначеними різними календарями), економістами, науковцями та іншими фахівцями.

На мою думку, робота показала практичну значимість у застосуванні подільності чисел.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1.   Антошенко В. Поділимося досвідом з колегами. Вивчення теми: «Подільність чисел» у 6 класі // Математика. – 2001 – №33 (вересень) – С. 6

2.   Бевз Г.П. Математика: 6 кл.: Підручник для загальноосвіт. навч. закл. /Г.П. Бевз, В.Г. Бевз. – К.: Генеза, 2006. – 415 с.

3.   Бевз Г.П. Методика викладання математики: Навчальний посібник для студентів фізико-математичного факультету педагогічних інститутів. 3-тє вид.-К.:вища школа, 1989.-367 с.

4.   Бевз Г.П. Методика розв’язування алгебраїчних задач у 6–8 класах. Посібник для вчителів.-К.:Рад. школа, 1975.-240 с.

5.   Бірюкова І. Подільність натуральних чисел. Урок-гра у 6-му класі // Математика. – 2002 – №41-С. 20–23

6.   Гаврилюк С. подільність чисел // Математика. – 2001 – №44 (листопад).-С. 6–7

7.   Каплук А. НОД і НОК в задачах // Математика. – 1999. – №4.-С. 37–40

8.   Кравченко А. Ознаки подільності чисел. Нетрадиційний урок.. // Математика. – 2001. – №45.-С. 9

9.   Лимаренко О.М., Ушаков Р.П. Подільність чисел. // У світі математики.-К.:1991, вип. 20.-С. 219–221

10.                     Литвиненко Г.М., Возняк Г.М. Математика: Пробний підручник для 6 класів середньої школи.-К.:Освіта, 1995.-287 с.

11.                     Мерзляк А.Г., Полянський В.Б., Якір М.С. Математика: Підручник для 6 класу. – Х.: Гімназія, 2006. – 487 с.

12.                     Муратова Е. Прості числа. Так чи проста їх історія? // Математика. – 2002. – №13 (квітень).-С. 17–20

13.                     Нурк Е.Р., Тельгма А.Е. Математика: Підручник для 6 класів серед. шк.-К.:Освіта, 1992.-224 с.

14.                     Розв’язуємо разом.-Х.:Вид. група «Основа», 2003.-144 с.

15.                     Рубан О.В. Задачі на подільність. // Математика. – 2004. – №13 (265) квітень.-С. 20–23

16.                     Савельєва В.А. Подорож у ознак подільності натуральних чисел. Урок-гра. // Математика. – 2000. – №11.-С. 3

17.                     Слєпкань З.І. Методика навчання математики: Підруч. для студ. мат. спеціальностей пед. навч. закладів.-К.:Зодіак-ЕКО, 2000. – 512 с.

18.                     Стрельченко Н.Н. Лишки // Математика. – 2002. – №21 (171) червень.-с. 4–5

19.                     Хмара Т.М. Наступність у формуванні уявлень про подільність чисел // Початкова школа. – 1995. – №6.-С. 43–47

20.                     Шевченко Є. Прості числа. // Математика. – 2001. – №36 (вересень).-С. 8

21.                     Янченко Галина, Кравчук Василь. Математика: Підручник для 6 класу. ─ Тернопіль: Підручники і посібники, 2006. – 340 с.